…人被視為一個歷程，一個成為 (becoming) 的歷程。該模式相信，每一個人都可能改變。即使外在的改變很有限，內在的改變卻是可能的。這個信念是普世皆然、毫無限制的，它結合了終生皆有可塑性的觀點。……成為是流動性的，隨時都在改變，從一連串的抉擇當中開展。我們總是在成為什麼的過程中……

-- 約翰·貝曼, 薩提爾成長模式的應用

-- 0902
真的忘記為了解開那個題目，來回這裡多少次了。

不過解開的那一瞬間真是愉快啊。我還記得在整棟樓房亮起的那個時候，外面似乎有個低鳴的聲音。擔心又來一次城市崩毀，我衝出去探探究竟。

卻是城牆前有一整區的建築變得鮮明起來。其中最前方那一整面，更是遮蔽了原先可以一眼望過去的視野，城裡再也不似之前空若無物的樣子了。

一如以往，那塊泛紫金屬板又停在那邊了。我摸了一下，想了想，還是問了：「你有看過一隻棕紅色的小動物嗎？」

板子的表面上浮現了這個字樣：

Nothing <> Just "a book"

向上看，這一棟建築上的符號是：<$>。我記得的，這棟跟之前若有似無的樣子真是天壤之別。

Functor 的實作

class Functor (f :: * -> *) where
fmap :: (a -> b) -> f a -> f b
(<$) :: a -> f b -> f a
{-# MINIMAL fmap #-}

---

Functor 的法則：

1. 封閉律
2. 單位元素 (Identity)
3. 分配律

Functor，跟它的中文翻譯：函子，雖然看起來一付很深奧的樣子，但其實概念上非常簡單。可以說寫程式一陣子的人裡，應該很難找到沒用過的。

每當你使用了串列/陣列的 map，你就是在使用它的 Functor 特質所帶來的好處，而我們在之前已經看過好幾次了。

fmap：map for Functor

若是以串列/陣列當做容器，那麼 fmap 跟大家習慣的 map 是一模一樣的。另外 fmap 還有一個中綴版的符號：<$>：

-- Haskell 語法

map  (+1) [1, 2, 3] -- => [2, 3, 4] -- 串列就是串列
fmap (+1) [1, 2, 3] -- => [2, 3, 4] -- 把串列當 functor

-- 中綴版
(+1) <$> [1, 2, 3] -- => [2, 3, 4]

然而 functor 的優秀之處，並不僅限於串列。或者應該這麼說，當我們可以將 map 的概念，用於其它容器上時，談 Functor 才比較有意義。

若能把這個「改變容器內容，而維持外殼不變」的特質也抽象出來，那麼就會得出一個堪稱作弊模式的觀點：升格 (Lifting)。函子最有威力的視角，不在於改變容器的內容，而是把函式升格這件事，以及取得這個抽象後的運用手法。

看起來沒什麼用的東西：$

為了要解釋什麼是升格，我們再來說明一個看起來沒什麼功能的函式：

($) :: (a -> b) -> a -> b
infixr 0 $

(+ 2) $ 10 -- -> 12

嗯… 這操作起來跟單純的函式呼叫一模一樣，那明明就用空白就可以啦？不過當我們試試看下面的寫法時，就會出現問題。

(+1) . (+2) 10

-- 出錯了！
-- => <interactive>:90:1: error:
--    • Non type-variable argument in the constraint: Num (a -> c)
--      (Use FlexibleContexts to permit this)
--    • When checking the inferred type
--        it :: forall c a. (Num c, Num (a -> c)) => a -> c

要問為什麼會這樣，原因是用空白來調用函式的優先順序極高，所以在上述的程式碼中，會先用 10 當引數來調用 (+ 2) 函式得到 12。接著拿著這個數字試著與 (+1) 用 . 進行函式組合時就會出錯了。這個時候，我們可以選擇用括號把前面括起來：

-- Haskell 語法
((+1) . (+2)) 10 -- => 13

再看一下剛剛 $ 的定義，仔細看的話，會發現它的優先度是…0，最低優先。所以我們可以使用 $ 來讓函式應用的順序變成最後才應用，來減少括號的干擾：

-- Haskell 語法
(+1) . (+2) $ 10 -- => 13

升格 (Lifting)

讓我們來比較一下 $，也就是一般的函式應用 (apply) 與 fmap，或說 <$> 的型別定義：

-- Haskell 語法

$   ::  (a -> b) ->   a ->   b
<$> ::  (a -> b) -> f a -> f b

仔細看一下，就會發現差別在當我們把 (a -> b) 的函式傳給 $ 後，我們拿到的就是一個原封不動的 a -> b 函式。相對於此 ，<$> 的第二個參數跟回傳值，都是包在 f 裡面的。這個 f 代表的是具有 Functor 特質的容器，你可以暫時把這個 f 想像成串列的外殼。

而把 Haskell 惰性求值一起放進來考慮時，我們可以這樣說：如果我們把一個 (a -> b) 的函式當做參數，傳給 fmap 後，我們得到了一個升級版的函式：f a -> f b。這個升級版的函式不是直接處理 a 型別，回傳 b 型別。而是能夠穿透容器的外殼，處理裝在 f 容器裡的 a 型別，並回傳裝在 f 容器裡的 b 型別。維持其外殼 f 不變。

所以 Haskell 裡是這麼說的：fmap 可以讓一個函式升格成變動容器內容的函式。

單位元素： id

而函式的單位元素，就是我們之前提過的恆等函式：id。而用法則是這樣的：

-- Haskell 語法
fmap id = id

-- 試試看。對某個 functor 用 id 去 fmap，等同於把該 functor 直接傳入 id 函式。
fmap id "Hi functor" -- => "Hi functor"
id "Hi functor" -- => "Hi functor"

分配律：升格與組合

再來看一下數學，例如下面這個式子，我們會說乘法對加法符合分配律：

那麼對於 Functor 來說，fmap 對函式組合也符合分配律：
fmap (f . g) 等同於 fmap f . fmap g

當你用 fmap 來升格 f . g 這個函式組合，會等於於將 f 與 g 分別升格之後，再進行函式組合。

-- Haskell 語法
f = (+1)
g = (*3)

fmap (f . g) $ [1, 2, 3] -- => [4,7,10]

fmap f . fmap g $ [1, 2, 3] -- => [4,7,10]

我本來想隨便丟個串列進去門上那個孔的，但是當我手上拿著空的串列靠進門的時候，伴隨著門上的光線很不明顯的變暗了一下，我似乎聽到了一聲很輕的嘆息。我想，可能它吃這個吃得很膩了吧。我走遠了一點四處翻找，終於讓我找到一個 Nothing。

[to be continue]